Função do segundo grau - Introdução

Uma função do segundo grau ou quadrática tem a seguinte caraterística:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ , $a\neq 0$ .

Exemplos:

$1) f(x)=x^{2}-5x+1$

$2) g(x)=-2x^{2}+4x+1$

$3) y=-8x^{2}$

$4) y=x^{2}-9$

5) (PUC - RS 2004) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas t horas diárias de trabalho é dado por

O número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho é:

a) 40 b) 200 c) 1000 d) 1200 e) 2200

$f(t)=200(t+1)$

$f(5)=200(5+1)$

$f(5)=1200$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

6) ( Furb - SC 2003) O gráfico abaixo representa uma função quadrática: $y= ax^{2}+bx+c$ . Os valores de a, b e c, respectivamente, são:

a) -1, -2 e -1 b) 1, -2 e 1 c)-1,-2 e 1 d) -1, 2 e -1 e) 1, 2 e 1

Observando o gráfico, temos:

Para x = 2, y = -1:

$-1= a.2^{2}+b.2+c\Rightarrow 4a+2b+c=-1$ ( I )

Para x = 1 , y = 0 :

$0= a.1^{2}+b.1+c\Rightarrow a+b+c=0$ ( II )

Para x = 0, y = -1:

$-1=a.0^{2}+b.0+c\Rightarrow c=-1$ ( III )

Substituindo ( III ) em ( II ), temos:

$a+b+c=0$

$a+b+(-1)=0$

$a=1-b$ ( IV )

Substituindo ( IV ) em ( I ), temos:

$4a+2b+c=-1$

$4(1-b)+2b+(-1)=-1$

$4-4b+2b-1=-1$

$b=2$

$a=1-b$

$a=1-2=-1$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

7) (FGV - SP 2003 ) Seja a função $f(x)= x^{2}$ . O valor de f( m + n) - f(m - n) é:

$a) 2m^{2}+2n^{2}$ $b) 2n^{2}$ $c)4mn$ $d)2m^{2}$ $e)0$

Temos:

$f(x)=x^{2}$

$f(m+n)=\left ( m+n \right )^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$

$f(m-n)=\left ( m-n \right )^{2}=m^{2}-2mn+n^{2}$

Então:

$f(m+n)- f(m-n)=\left ( m^{2}+2mn+n^{2} \right )-\left ( m^{2}-2mn+n^{2} \right )$

$f(m+n)- f(m-n)=4mn$

Desta forma, a alternativa correta é a c.

8) ( Vunesp - SP ) O gráfico da função quadrática definida por $y=x^{2}-mx+(m-1)$ , onde m é um úmero real, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

Conforme o enunciado, a função tem um único pontoem comum com o eixo das abscissas, ou seja, o seu gráfico corta o eixo x em um único ponto. Desta forma, concluímos que $\Delta =0$ .

$\Delta =b^{2}-4ac$

$b^{2}-4ac=0$

$(-m)^{2}-4.1.(m-1)=0$

$m^{2}-4m+4=0$

$m=2$

$y=x^{2}-mx+\left ( m-1 \right )$

$y=x^{2}-2x+1$

Para x = 2, temos:

$y=2^{2}-2.2+1=1$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

9. ( UFPI ) Uma fábrica produz $p(t)=t^{2}+2t$ pares de sapatos t horas após o início de suas atividades diárias. Se a fábrica começa a funcionar às 8 hs da manhã, entre 10 e 11 horas serão produzidos: