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segunda-feira, 8 de junho de 2020 álgebra, ensino fundamental, matemática

Equações irracionais

Equações irracionais

Uma equação irracional é uma equação na qual existem incógnitas em radicais.

Exemplos:

1. Resolva as equações irracionais abaixo:

$a) \sqrt{x-4}=4$

$\left (\sqrt{x-4} \right )^{2}=4^{2}$

$x-4=16\Rightarrow x=20$

Verificação:

Para x = 20, teremos:

$\sqrt{20-4}=4\Rightarrow \sqrt{16}=4\Rightarrow 4=4 (V)$

Desta forma, conclui-se que x=20 é solução da equação.

$b) \sqrt{x^{2}+4x}=0$

$\left (\sqrt{x^{2}+4x} \right )^{2}=0^{2}$

$x^{2}+4x=0$

$x.\left ( x+4 \right )=0\Rightarrow x=0 ou x=-4$

Verificação:

Para x = 0, teremos:

$\sqrt{0^{2}+4.0}=0\Rightarrow \sqrt{0}=0\Rightarrow 0=0\left ( V \right )$

Para x = -4, teremos:

$\sqrt{\left ( -4 \right )^{2}+4.\left ( -4 \right )}=0\Rightarrow \sqrt{16-16}=0\Rightarrow 0=0 (V)$

Desta forma, conclui-se que x=0 e x=-4 são soluções da equação.

$c) \sqrt[3]{4x-12}=2$

$\left ( \sqrt[3]{4x-12} \right )^{3}=2^{3}$

$4x-12=8\Rightarrow x=5$

Verificação:

Para x = 5, teremos:

$\sqrt[3]{4.5-12}=2\Rightarrow \sqrt[3]{8}=2\Rightarrow 2=2\left ( V \right )$

Desta forma, conclui-se que x=5 é solução da equação.

$d)\sqrt{x^{2}-6x+9}=4$

$\left (\sqrt{x^{2}-6x+9} \right )^{2}=4^{2}$

$x^{2}-6x+9=16$

$x^{2}-6x-7=0$

$x_{1}=-1$

$x_{2}=7$

Verificação:

Para x = -1, teremos:

$\sqrt{\left ( -1 \right )^{2}-6.\left ( -1 \right )+9}=4$

$\sqrt{16}=4\Rightarrow 4=4\left ( V \right )$

Para x = 7, teremos:

$\sqrt{7^{2}-6.7+9}=4$

$\sqrt{16}=4\Rightarrow 4=4\left ( V \right )$

Desta forma, conclui-se que x=-1 e x=7 são soluções da equação.

$e)3.\sqrt{x+1}=x+3$

$\left ( 3.\sqrt{x+1} \right )^{2}=\left ( x+3 \right )^{2}$

$3^{2}.\left ( \sqrt{x+1} \right )^{2}=\left ( x+3 \right )^{2}$

$9.\left ( x+1 \right )=x^{2}+6x+9$

$9x+9=x^{2}+6x+9\Rightarrow x^{2}-3x=0$

$x.\left ( x-3 \right )=0$

$x_{1}=0$

ou

$x_{2}=3$

Verificação:

Para x = 0, teremos:

$3.\sqrt{0+1}=0+3\Rightarrow 3.1=3\Rightarrow 3=3\left ( V \right )$

Para x = 3, teremos:

$3.\sqrt{3+1}=3+3\Rightarrow \Rightarrow 3.\sqrt{4}=6\Rightarrow 6=6\left ( V \right )$

Desta forma, conclui-se que x=0 e x=3 são soluções da equação.

$f)\sqrt[5]{25+\sqrt{x-4}}-2=0$

$\left ( \sqrt[5]{25+\sqrt{x-4}} \right )^{5}=2^{5}$

$25+\sqrt{x-4}=32$

$\sqrt{x-4}=7$

$\left (\sqrt{x-4} \right )^{2}= 7^{2}$

$x-4=49\Rightarrow x=53$

Verificação:

Para x = 53, teremos:

$\sqrt[5]{25+\sqrt{x-4}}-2=0$

$\sqrt[5]{25+\sqrt{53-4}}=2$

$\sqrt[5]{25+\sqrt{49}}=2$

$\sqrt[5]{25+7}=2$

$\sqrt[5]{32}=2\Rightarrow 2=2\left ( V \right )$

Desta forma, conclui-se que x=53 é solução da equação.

$g)\sqrt{x+10}-5=\sqrt{x-5}$

$\left ( \sqrt{x+10} -5\right )^{2}=\left ( \sqrt{x-5} \right )^{2}$

$\left ( \sqrt{x+10} \right )^{2}-2.\sqrt{x+10}.5+5^{2}=x-5$

$x+10-10.\sqrt{x+10}+25=x-5$

$-10.\sqrt{x+10}=-40$

$\sqrt{x+10}=4$

$\left (\sqrt{x+10} \right )^{2}=4^{2}$

$x+10=16\Rightarrow x=6$

Verificação:

Para x = 6, teremos:

$\sqrt{x+10}-5=\sqrt{x-5}$

$\sqrt{6+10}-5=\sqrt{6-5}$

$\sqrt{16}-5=\sqrt{1}$

$4-5=\1\Rightarrow -1=-1\left ( V \right )$

Desta forma, conclui-se que x=6 é solução da equação.

2. (PUC – SP) O conjunto de soluções inteiras da equação abaixo é:

a) {2} b){0,2} c){0} d){0,1/2} e){1/2}

$\sqrt{4x+1}=2x-1$

$\left ( \sqrt{4x+1} \right )^{2}=\left ( 2x-1 \right )^{2}$

$4x+1=4.x^{2}-4x+1$

$4x^{2}-8x=0\Rightarrow 4x\left (x-2 \right )=0$

$4x=0\Rightarrow x=0$

ou

$x-2=0\Rightarrow x=2$

$S=\left \{ 0;2 \right \}$

Verificação:

Para x = 0, teremos:

$\sqrt{4.0+1}=2.0-1\Rightarrow \sqrt{1}=-1\left ( V \right )$

Para x = 2, teremos:

$\sqrt{4.2+1}=2.2-1\Rightarrow \sqrt{9}=3\left ( V \right )$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

3. (FAAP - SP) - Resolva a seguinte equação irracional

$x-1=\sqrt{1-\sqrt{x^{4}-x^{2}}}$

$\left ( x-1 \right )^{2}= \left (\sqrt{1-\sqrt{x^{4}-x^{2}}}^{2} \right )$

$x^{2}-2x+1= 1-\sqrt{x^{4}-x^{2}}$

$\left (x^{2}-2x \right )^{2}=\left ( -\sqrt{x^{4}-x^{2}} \right )^{2}$

$x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=x^{4}-x^{2}$

$4x^{3}-5x^{2}=0$

$x^{2}\left ( 4x-5 \right )=0$

Na equação acima temos:

$x^{2}=0 \Rightarrow x=0$

ou

$4x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{4}$

Verificação:

Para x = 0, teremos:

$x-1=\sqrt{1-\sqrt{x^{4}-x^{2}}}$

$0-1=\sqrt{1-\sqrt{0^{4}-0^{2}}}$

$-1=\sqrt{1}\Rightarrow -1=\pm 1 (F))$

Logo x= 0 não convém como solução.

Para x = 5/4, teremos:

$x-1=\sqrt{1-\sqrt{x^{4}-x^{2}}}$

$\frac{5}{4}-1=\sqrt{1-\sqrt{\left ( \frac{5}{4} \right )^{4}-\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}}}$

$\frac{5}{4}-\frac{4}{4}=\sqrt{1-^{\sqrt{\frac{625}{256}-\frac{25}{16}}}}$

$\frac{1}{4}=\sqrt{1-\sqrt{\frac{225}{256}}}$

$\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}=\left ( ^{\sqrt{1-\frac{15}{16}}} \right )^{2}$

$\frac{1}{16}=1-\frac{15}{16}$

$\frac{1}{16}=\frac{1}{16} (V)$

$S = \left \{ \frac{5}{4} \right \}$

4. (FEI - SP) - Seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional

$\mathbf{{\sqrt{2x}}-\sqrt{7+x} =1}$

Assim:

$a)V=\left \{ 2;18 \right \}$ $b)V=\left \{ 2 \right \}$ $c)V=\left \{ 18 \right \}$ $d)V=\phi$ $e)V=\left \{ -2;-18 \right \}$

$\sqrt{2x}-1=\sqrt{7+x}$

$\left ( \sqrt{2x}-1 \right )^{2}=\left ( {\sqrt{7+x}} \right )^{2}$

$2x-2\sqrt{2}x+1=7+x$

$\left ( -2\sqrt{2x} \right )^{2}=\left (-x+6 \right )^{2}$

$\left ( -2 \right )^{2}.\left ( \sqrt{2x} \right )^{2}=\left (-x+6 \right )^{2}$

$4.2x=x^{2}-12x+36$

$x^{2}-20x+36=0$

$x_{1}=2$

$x_{2}=18$

Verificação:

Para x = -2, teremos:

$\sqrt{2.2}-\sqrt{7+2}=1$

$\sqrt{4}-\sqrt{9}=1 \Rightarrow -1=1 (F))$

Desta forma, x = -2 não convém como solução.

Para x = -18, teremos:

$\sqrt{2.18}-\sqrt{7+18}=1$

$\sqrt{36}-\sqrt{25}=1\Rightarrow 6-5=1\Rightarrow 1=1(V))$

$V=\left \{ 18 \right \}$

Desta forma, a alternativa correta é a c.

5. (Fuvest - SP) Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro de sua raiz quadrada. Qual é esse número?

$x-3=2.\sqrt{x}$

$\left (x-3 \right )^{2}=\left (2.\sqrt{x} \right )^{2}$

$x^{2}-6x+9=2^{2}.\left ( \sqrt{x} \right )^{2}$

$x^{2}-6x+9=4x$

$x^{2}-10x+9=0$

$x_{1}=1$ e $x_{2}=9$

Verificação:

Para x = 1, teremos:

$x-3=2\sqrt{x}$

$1-3=2\sqrt{1}$

$-2=2\left ( F \right )$

Desta forma, x = 1 não convém como solução.

Para x = 9, teremos:

$x-3=2\sqrt{x}$

$9-3=2\sqrt{9}$

$6=6\left ( V \right )$

Desta forma, conclui-se que x=9 é solução da equação.

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