Matrizes

1. Definição de matriz

Dados dois números m e n naturais e não-nulos, uma tabela A composta por números

reais distribuídos em m linhas e n colunas, poderemos denominar esta tabela como uma

matriz m x n.

Exemplos:

$\begin{bmatrix} 1 -10 \end{bmatrix}$ matriz de ordem 1x2

Esta é uma matriz-linha, pois possui uma única linha (m=1).

$\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 7 & 9 \end{bmatrix}$ matriz de ordem 2x2

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{4} &-2 \\ \frac{8}{9} &-10 &\sqrt{3} \end{bmatrix}$ matriz de ordem3x3

$\begin{bmatrix} 3\\ 2 6\\5 \\4 \end{bmatrix}$ matriz de ordem 4x1

Esta é uma matriz-coluna, pois possui uma única coluna (n=1).

5) A partir da matriz abaixo, responda:

$A=\begin{bmatrix} \sqrt{3} &-2 \\ 4& 0\\ -7& 1 \end{bmatrix}$

a) Qual é a ordem da matriz A?

A ordem da matriz A é 3x2.

b) Quais são os elementos da segunda coluna?

Os elementos da segunda coluna são: -2;0 e 1.

c) Quais são os elementos da terceira linha?

Os elementos da terceira linha são: -7 e 1.

d) Qual elemento está na terceira linha e segunda coluna?

$a_{32}=1$

6) (UFPR-PR) Seja M a matriz dada abaixo,

A matriz M é:

$a) \begin{bmatrix} 0 &2 \\ 2& 0\\ -4&0 \end{bmatrix}$ $b) \begin{bmatrix} 0 &6 \\ 6& 0\\ 8&10 \end{bmatrix}$ $c) \begin{bmatrix} 0 &4 \\ 5& 0\\ 7&8 \end{bmatrix}$

$d)\begin{bmatrix} 0 & 5 &7 \\ 4 & 0 &8 \end{bmatrix}$ $e)\begin{bmatrix} 0 & 6 &8\\ 6 & 0 &10 \end{bmatrix}$

$a_{11}=2.\left ( 1-1 \right )=0$ $a_{12}=2.1+2=4$

$a_{21}=2.2+1=5$ $a_{22}=2.\left ( 2-2 \right )=0$

$a_{31}=2.3+1=7$ $a_{32}=2.3+2=8$

Assim, temos:

$M=\begin{bmatrix} 0 &4 \\ 5& 0\\ 7& 8 \end{bmatrix}$

Logo a alternativa correta é a c.

2. Tipos de matriz

Matriz linha: possui uma única linha, logo sua ordem sempre será 1 x n.

Exemplo:

$A= \begin{bmatrix} -2 & 3 &\sqrt{5} \end{bmatrix}$

Matriz coluna: possui uma única coluna, logo sua ordem sempre será m x 1.

Exemplo:

$B=\begin{bmatrix} 3\\ \sqrt{7} \end{bmatrix}$

Matriz nula: todos os seus elementos são iguais a zero.

Exemplo:

$C=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 & 0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}$

Matriz quadrada: possui igual número de linhas e colunas, ou seja, m = n.

Exemplos:

$D=\begin{bmatrix} -3 & 2\\ 2& 1 \end{bmatrix}$

$E=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 9 &2 \\ 1 & \sqrt[3]{5} &7 \\ 2& 0 & 32 \end{bmatrix}$

3) Fatec - SP Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que

Nessas condições:

$a)A=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 8 & 5 \end{bmatrix}$ $b)A=\begin{bmatrix} 2 & 8\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ $c)A=\begin{bmatrix} 2 & 8\\ 5 & 5 \end{bmatrix}$

$d)A=\begin{bmatrix} 2 & 8\\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ $e) n.d.a$

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}$

$a_{11}=1^{2}+1=2$ $a_{12}=2^{1+2}=2^{3}=8$

$a_{21}=2^{2}+1=5$ $a_{22}=2^{2}+1=5$

$A=\begin{bmatrix} 2 & 8\\ 5 & 5 \end{bmatrix}$

Assim, a alternativa correta é a c.

Matriz diagonal: é uma atriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.

Obs.: A diagonal principal de uma matriz quadrada é composta por todos os elementos que têm dois índices iguais :

$\left \{a _{mn}/i=j \right \}=\left \{ a_{11,a_{22},...,a_{nn}} \right \}$

Exemplos:

$M=\begin{bmatrix} -3 &0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$

Diagonal principal: {-3;8}

Esta é uma matriz diagonal, pois além de ser quadrada 2x2, todos os elementos que não estão na diagonal prinicipal são iguais a zero.

$N=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &2 & 0\\ 0 & 0 &3 \end{bmatrix}$

Diagonal principal: {1;2;3}

Esta também é uma matriz diagonal, pois além de ser quadrada 3x3, todos os elementos que não estão em sua diagonal principal são iguais a zero.

Matriz identidade: é uma matriz diagonal cujos todos os elementos da diagonal principal são iguais a um.

Exemplos:

$I_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$ $I_{3}=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

Matriz transposta: obtemos uma matriz transposta quando as linhas de uma matriz passam a ser colunas e, assim, sucessivamente.

Exemplos:

$A=\begin{bmatrix} 2 &3 & 4 \end{bmatrix}$ $A^{t}=\begin{bmatrix} 2\\3 \\4 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-1 \\ 4&5 & 2 \end{bmatrix}$ $B^{t}=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0 &5 \\ -1&2 \end{bmatrix}$

3) Ufal - AL Considere a matriz $A = \left (a_{ij}\right )_{3x4}$ , na qual

O elemento que pertence à 3ª linha e à 2ª coluna da matriz $A^{t}$ , transposta de A, é:

$a)4$ $b)2$ $c)1$ $d)-1$ $e)-2$

Observemos que:

$A=\begin{bmatrix} a& b &c &d \\ e& f & g & h\\ i& j &k &l \end{bmatrix}$ $A^{t}=\begin{bmatrix} a & e & i\\ b &f & j\\ c & g & k\\ d &h &l \end{bmatrix}$

Assim, o elemento que pertence à 3ªlinha e à 2ª coluna de $A^{t}$ é g.

Na matriz original A, temos :

$g=a_{23}$ $a_{ij}=i-j\Rightarrow g=a_{23}=2-3=-1$

Assim, a alternativa correta é a d.

Matriz oposta: é a matriz que somada à matriz original resulta numa matriz nula.

Exemplos:

$X=\begin{bmatrix} 9 & -5 \end{bmatrix}$ $-X=\begin{bmatrix} -9 & 5 \end{bmatrix}$

2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, tal que aij=i+j, escreva a matriz oposta de A.

Observemos que:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}$ $-A=\begin{bmatrix} -a_{11} &-a_{12} \\ -a_{21}&-a_{22} \end{bmatrix}$

$a_{11}=1+1=2$ $a_{12}=1+2=3$

$a_{21}=2+1=3$ $a_{22}=2+2=4$

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 3& 4 \end{bmatrix}$ $-A=\begin{bmatrix} -2 & -3\\ -3& -4 \end{bmatrix}$

Matriz simétrica: dada uma matriz quadrada A, esta matriz é dita simétrica:

Exemplos:

$A= \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &5 &6 \\ 3&6 &8 \end{bmatrix}$

Observe que:

$a_{12}=a_{21}=2$ $a_{13}=a_{31}=3$ $a_{23}=a_{32}=6$

Um outro artifício para verificarmos se a matriz é simétrica seria verificarmos a correspondência entre linha e coluna. Ou seja, primeira linha é igual a primeira coluna, segunda linha é igual a segunda coluna, e, assim sucessivamente.

2) Calcule os valores de x, y e z, sabendo que a matriz abaixo é simétrica.

$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & x\\ 2 & y &z-1\\ 5 & 7 &9 \end{bmatrix}$