Formas da equação da reta

Equação geral da reta

Qualquer reta pode ser escrita de uma forma geral:

$ax+by+c=0$ , $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ .

Há algumas situações específicas:

(A) $a=0$ e $b\neq 0$ - reta paralela ao eixo x.

(B) $a\neq 0$ e $b=0$ - reta paralela ao eixo y.

A equação geral da reta pode ser obtida pelo método da equação fundamental (I) ou a partir do determinante das coordenadas dos pontos da reta (II).

(I) $y-y_{0}=m(x-x_{0})$

(II)

$\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} &1 \\ x _{B}& y_{B} &1 \\ x & y &1 \end{vmatrix}=0$

Exemplos:

1) Determine a equação geral das retas abaixo:

Observemos que a reta r passa pelos pontos (-2,0) e (0,4). Assim, temos:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-4}{-2-0}=2$

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-0=2(x-(-2))$

$y=2(x+2)$

$y=2x+4$

Equação geral da reta: $2x-y+4=0$

Observemos que a reta r passa pelos pontos (-1/3,0) e (0,-3). Assim, temos:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3-0}{0-(-1/3)}=\frac{-3}{1/3}=-9$

Escolhemos o ponto (0,-3) e obteremos a equação geral da reta s:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-(-3)=-9(x-0)$

$y+3=-9x$

$9x+y+3=0$

Equação geral da reta s: $9x+y+3=0$

A reta t passa pelos pontos (0,-2) e (3,0).

Agora utilizaremos o método do determinante para encontrarmos a equação geral da reta t:

$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 1\\ x & y & 1 \end{vmatrix}=0$ $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 0& -2 &1 &0 &-2 \\ x & y & 1 &x &y \end{vmatrix}=0$

$\left \{ \left ( 3.(-2).1+0.1.x+1.0.y \right )-\left ( 0.0.1+3.1.y+1.(-2).x \right ) \right \}=0$

$2x+3y-6=0$

Equação geral da reta t:

$2x+3y-6=0$

2) Determinar a equação da reta r que passa pelo centro do círculo e pelo ponto A(3,3).

Observemos que a reta r passa pelos pontos A(3,3) e pelo centro do círculo(4,5).

Agora determinaremos a equação geral da reta r:

$\begin{vmatrix} 3 &3 & 1\\ 4 & 5 &1 \\ x &y & 1 \end{vmatrix}=0$ $\begin{vmatrix} 3 & 3& 1 & 3 &3 \\ 4 & 5 & 1 & 4 &5 \\ x & y & 1 & x & y \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} 3 & 3& 1 & 3 &3 \\ 4 & 5 & 1 & 4 &5 \\ x & y & 1 & x & y \end{vmatrix}=\left \{ \left ( 3.5.1+3.1.x+1.4.y \right ) -\left ( 3.4.1+3.1.y+1.5.x \right )\right \}=0$

$-2x+y+3=0$

$2x-y-3=0$

Equação da reta r: $2x-y-3=0$

3) ( Fuvest - SP ) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

A reta s passa pelos pontos (2,2) e (0,3):

$m_{s}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-2}{0-2}=-\frac{1}{2}$

$m_{s}.m_{t}=1$

$-\frac{1}{2}.m_{t}=1$

$m_{t}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=1.\frac{-2}{1}=-2$

Equação da reta t:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-2=\left ( -2 \right )(x-2)$

$y-2=-2x+4$

$2x+y-6=0$

Consideremos um ponto qualquer da reta t, se y = 0 , temos:

$2.x+0-6=0\Rightarrow x=3$

Ponto (3,0).

Agora vamos visualizar as retas nos eixos:

A área do triângulo é dada por:

$A=\frac{d_{AB}.y_{P}}{2}=\frac{3.2}{2}=3$

Desta forma,a alternativa correta é a b.

4) (UFSCar - SP) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação ax + 2y - 2 = 0. Sabendo que

P = ( 1, -1 ) é um ponto de r, determine:

a) o valor de a;

Como o ponto P = ( 1, -1 ) e pertence à reta r, temos:

$ax+2y-2=0$

$a.1+2.(-1)-2=0\Rightarrow a = 4$

b) o coeficiente angular de r.

Como a = 4 , temos:

$a.x+2y-2=0\Rightarrow 4x+2y-2=0$

$4x+2y-2=0\Rightarrow y=\frac{-4x+2}{2}=-2x+1$

$m_{r}=-2$

5) ( UFSCar - SP 2004 ) Os pontos A(3,6), B(1,3) e C(xc, yc) são vértices do triângulo ABC, sendo M (xm, ym) e N(4,5) pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.

a) Calcule a distância entre os pontos M e N.

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{3+1}{2}=2$ $y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+3}{2}=\frac{9}{2}$

$M=\left ( 2,\frac{9}{2} \right )$ $N=\left ( 4,5 \right )$

$d_{MN}=\sqrt{\left ( x_{M}-x_{N} \right )^{2}+\left ( y_{M}-y_{N} \right )^{2}}$

$d_{MN}=\sqrt{\left (2-4 \right )^{2}+\left ( \frac{9}{2}-5 \right )^{2}}$

$d_{MN}=\sqrt{\left ( -2 \right )^{2}+\left ( \frac{-1}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$

b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do triângulo ABC.

Como o ponto N é o ponto médio de AC, temos:

$x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}\Rightarrow4=\frac{3+x_{C}}{2}\Rightarrow x_{C}=5$

$y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\Rightarrow5=\frac{6+y_{C}}{2}\Rightarrow y_{C}=4$

$C=\left ( 5,4 \right )$

Como os pontos B e C pertencem à BC,temos:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1\\ 5 &4 & 1\\ x &y &1 \end{vmatrix}=0$ $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\ 5 & 4 &1 & 5 &4 \\ x &y &1 & x & y \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\ 5 & 4 &1 & 5 &4 \\ x &y &1 & x & y \end{vmatrix}=\left \{ \left ( 1.4.1+3.1.x+1.5.y \right ) -\left ( 3.5.1+1.1.y+1.4.x \right )\right \}=0$

$\left ( 3x+5y+4 \right )-\left ( 4x+y+15 \right )=0$

$-x+4y-11=0$

$x-4y+11=0$

Equação geral da reta suporte do lado BC:

$x-4y+11=0$

Equação reduzida da reta

Uma reta que corta o eixo y no ponto Q(0,q) e tem uma inclinação m possui equação reduzida dada por:

$y=mx+q$

m: coeficiente angular da reta

q:coeficiente linear da reta

A partir da equação geral da reta ( ax+by+c = 0), podemos obter a equação reduzida desta reta:

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ , $b\neq 0$ .

$m=-\frac{a}{b}$ e $q=-\frac{c}{b}$

Exemplos:

1) A reta r passa pelos pontos A(-3,-4) e B(2,1), determine:

a) a sua equação geral.

b) a sua equação reduzida.

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{1-(-4)}{2-(-3)}=\frac{5}{5}=1$

Escolhemos o ponto A parra determinarmos a equação geral da reta,mas poderíamos escolher o ponto B:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-(-4)=1.(x-(-3))$

$y+4=x+3$

$x-y-1=0$

Equação geral da reta: $x-y-1=0$

A partir da equação geral, obteremos a equação reduzida da reta:

$x-y-1=0$

$-y=-x+1.(-1)$

$y=x-1$

Equação reduzida da reta: $y=x-1$

2) (Furg - RS 2003) Dada uma reta r, no plano cartesiano, cuja equação é y= -x + 4, seja s uma reta que não intercepta r e passa pelo ponto (3,-1). Então, a equação da reta s é dada por:

a) y = 2x - 7 b) y = x - 4 c) y = -2x + 5 d) y = -3x + 8 e) y= -x +2

A reta s não intercepta a reta r, então consideraremos r//s: $m_{s}=m_{r}=-1$

Agora, determinaremos a equação da reta s:]

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-(-1)=(-1)(x-3)$

$y+1=-x+3$

$y=-x+2$

Desta forma, a alternativa correta é a e.

3)( UFRR - RR 2003 ) Considere a reta r, paralela à reta de equação y = 2x - 4, e que contém o ponto (-1,1). As coordenadas do ponto P, interseção da reta r com o eixo y, são:

a) ( -4,0 ) b) ( 3, 0 ) c) ( 0, 0 ) d) ( 0, -4 ) e) ( 0, 3 )

Como a reta r é paralela à reta de equação y = 2x - 4, temos:

$m_{r}=2$

Agora determinaremos a equação da reta r:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-1=2(x-(-1))$

$y=2x+3$

Agora determinaremos as coordenadas do ponto P. Como ponto P é a interseção da reta r com o eixo y, temos P = ( 0, y).

$y=2x+3$

$y=2.0+3\Rightarrow y=3$

$P=\left ( 0,3 \right )$

Desta forma, a alternativa correta é a e.

4) Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(2;1) e é paralela à reta r: 2x + y -1 = 0.

A reta é paralela à reta r, então possuem a mesma inclinação:

$r: 2x+y-1=0\Rightarrow y=-2x+1$

$m_{s}=m_{r}=-2$

Agora obteremos a equação reduzida da reta s ( lembremos que ela passa pelo ponto P(2;1)):

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-1=-2(x-2)$

$y-1=-2x+4$

$y=-2x+5$

Equação segmentária da reta

Ao considerarmos os cortes de uma reta nos eixos x e y respectivamente,podemos obter a equação segmentária desta reta:

$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$

p: abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.

q: ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

Exemplos:

1) (Mackenzie - SP 2003) A reta $\frac{x}{k}+\frac{y}{k+1}=1, k>0$ forma, no primeiro quadrante, um triângulo de área 6 com os eixos coordenados. O perímetro desse triângulo é:

$a) 12$ $b) 18$ $c) 14$ $d) 10\sqrt{2}$ $e) 12\sqrt{2}$

Esboçaremos a equação segmentária abaixo:

A área do triângulo formado com os eixos é dada por:

$A=\frac{b.h}{2}\Rightarrow 6=\frac{k.\left ( k+1 \right )}{2}\Rightarrow k^{2}+k-12=0$

$k=3$

Assim,temos:

O terceiro lado do triângulo obteremos aplicando o Teorema de Pitágoras:

$a^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow a=5$

Perímetro do triângulo: $3+4+5=12$

Desta forma, a alternativa correta é a a.

2) Obtenha a equação segmentária da reta s:

A equação segmentária é da seguinte forma:

$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$

p: interseção da reta no eixo x;

q: interseção da reta no eixo y.

Assim,temos a seguinte equação segmentária para a reta s:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1$

Equações paramétricas da reta

Podemos estabelecer uma relação entre as coordenadas x e y dos pontos de uma reta e uma variável t. A variável t é um parâmetro.

Dada uma reta r não paralela a algum dos eixos cartesianos, que passa pelos pontos A e B, a relação será estabelecida da seguinte forma:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$

Equação fundamental da reta r:

$y-y_{A}=m(x-x_{A})\Rightarrow y-y_{A}=\left (\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \right )\left ( x-x_{A} \right )$

$\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$

Agora relacionaremos cada um dos membros da equação acima à variável t:

$\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=t\Rightarrow x=x_{A}+t(x_{B}-x_{A})$

$\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}=t\Rightarrow y=y_{A}+t(y_{B}-y_{A})$

Assim, teremos as equações paramétricas da reta:

$x=x_{A}+t(x_{B}-x_{A})$

$y=y_{A}+t(y_{B}-y_{A})$

Exemplos:

1) Ache as coordenadas do ponto de interseção das retas

A partir da equação r, temos:

$x=2t+1\Rightarrow 2t=x-1\Rightarrow t=\frac{x-1}{2}$

$y=-3t+6\Rightarrow -3t=y-6\Rightarrow t=\frac{-y+6}{2}$

Agora igualaremos as duas equações acima obtidas:

$\frac{x-1}{2}=\frac{-y+6}{2}$

$x-1=-y+6 \Rightarrow x+y-7=0$

$\left ( I \right ) x+y-7=0$

Faremos o mesmo para a reta s:

$x=3u+2\Rightarrow u=\frac{x-2}{3}$ e $y=5+u\Rightarrow u=y-5$

$\frac{x-2}{3}=y-5\Rightarrow x-2=3y-15\Rightarrow x-3y+13=0$

$\left ( II \right ) x-3y+13=0$

Agora procuraremos o ponto de interseção das retas r e s:

Ponto de interseção das retas r e s: (2,5).

2) Dadas as equações paramétricas da reta s: x = 5t + 2 e y = 4t, obtenha a sua equação segmentária.

$x=5t+2\Rightarrow t=\frac{x-2}{5}$ e $y=4t\Rightarrow t=\frac{y}{4}$ .

$\frac{x-2}{5}=\frac{y}{4}$

$\frac{4(x-2)}{20}=\frac{5y}{20}$

$4x-8=5y\Rightarrow 4x-5y-8=0$

Agora, vamos obter a equação segmentária:

$4x-5y-8=0$

$4x-5y=8$

$\frac{4x}{8}-\frac{5y}{8}=\frac{8}{8}$

$\frac{x}{2}-\frac{5y}{8}=1$

3) Dada a reta r cuja equação geral é x - 2y + 6 = 0, obtenha as equações paramétricas de r.

Primeiramente, obteremos dois pontos aleatórios pertencentes à reta r:

$x=x_{A}+t(x_{B}-x_{A})$

$y=y_{A}+t(y_{B}-y_{A})$

Se x = 0, temos:

$x-2y+6=0$

$0-2y+6=0\Rightarrow y=3$

Já temos o primeiro ponto: A(0;3). Agora para x = 2, temos:

$2-2y+6=0\Rightarrow y=4$

Temos mais um ponto: B(2;4).

Agora, obteremos as equações paramétricas da reta r:

$x=x_{A}+t(x_{B}-x_{A})\Rightarrow x=0+t(2-0)\Rightarrow x=2t$

$y=y_{A}+t(y_{B}-x_{A})\Rightarrow y=3+t(4-3)\Rightarrow y=3+t$

Equações paramétricas da reta r:

4) Obtenha a equação geral da reta que possui as seguintes equações paramétricas:

A partir das equações paramétricas acima, temos:

$x=2t-1\Rightarrow t=\frac{x+1}{2}$ e $y=5t+3\Rightarrow t=\frac{y-3}{5}$

Podemos obter a equação geral de dois modos:

Modo 1:

$\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{5}$

$\frac{5(x+1)}{10}=\frac{2\left ( y-3 \right )}{10}$

$5x+5=2y-6$

$5x-2y+11=0$

Equação geral: $5x-2y+11=0$

Modo 2:

Temos

$t=\frac{x+1}{2}$ e $y=5t+3$ , então:

$y=5t+3$

$y=5\left ( \frac{x+1}{2} \right )+3$

$\frac{2y}{2}=\frac{5(x+1)+6}{2}$

$5x+11=2y$

$5x-2y+11=0$

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Estudo da reta - Parte III

Formas da equação da reta

Equação geral da reta

Equação reduzida da reta

Podemos estabelecer uma relação entre as coordenadas x e y dos pontos de uma reta e uma variável t. A variável t é um parâmetro.

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