Equação fundamental da reta
Quando conhecemos um ponto e a inclinação de uma reta, podemos determinar a equação fundamental desta reta.
Há dois casos possíveis:
(A) Quando a reta possui coeficiente angular:
Quando a reta possui coeficiente angular ( m ), utilizaremos as coordenadas de um ponto qualquer desta reta e o coeficiente angular para determinarmos a equação fundamental da reta considerada:
(B) Quando a reta não possui coeficiente angular:
Quando uma reta possui inclinação de 90° em relação ao eixo Ox, sua equação fundamental será dada por:
Exemplos:
1) ( PUC - SP ) A equação da reta que passa pelos pontos A(-2,1) e B(3,-4) é:
a) x + y + 2 = 0 b) x - y + 5 = 0 c) x + y + 1 = 0 d) 2x + y = 0 e) x - y - 2 = 0
Primeiramente, vamos calcular a inclinação da reta:
Agora determinaremos a equação fundamental da reta. Poderemos escolher qualquer um dos pontos desta reta, então escolheremos o ponto A:
Equação fundamental da reta:
Desta forma, a alternativa correta é a c.
2) ( Ufes - ES ) A equação da reta que passa pelo ponto (3,-2), com inclinação de 60°, é:
A inclinação desta reta será dada por:
Agora determinaremos a equação fundamental da reta:
Ponto : 
Desta forma, a alternativa correta é a a.
3) ( Unimar - SP 2004 ) A equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de coordenadas (2,3) e (1,-4) passando pela origem é :
a) y = x b) y = 3x -4 c) 7y = x d) y = 7x e) n.d.a
Chamaremos a reta procurada de r e a reta determinada pelos pontos (2,3) e (1,-4) de s.
Como as retas são paralelas, temos:
Conforme o enunciado, a reta s passa pela origem:
Agora determinaremos a equação fundamental da reta s:
Desta forma,a alternativa correta é a d.
4) ( Mackenzie - SP )
O gráfico acima mostra a evolução da quantidade de pessoas desempregadas ( em mil ), a partir de determinado momento, numa certa região. Se AB // CD, o número de pessoas desempregadas, 5 meses após o início das observações, é:
a) 4000 b) 3000 c) 3500 d) 2500 e) 2000
Pelo gráfico, conseguimos obter as coordenadas dos pontos A, B e C:
A (0,1) B(2,2) C(4,2) D(x,y)
Como AB // CD, temos:
Para a equação fundamental da reta CD, utilizaremos as coordenadas do ponto C(4,2).
Equação fundamental da reta CD:
Como devemos calcular o número de pessoas desempregadas, 5 meses após o início das observações, temos x = 5:
Então, o número de desempregados, 5 meses após o início das observações será de 2500 trabalhadores.
Desta forma, a alternativa correta é a d.
5) ( FAAP -SP ) Achar a equação da reta perpendicular à reta s e que passa pela origem:
Primeiramente, vamos determinar a equação fundamental da reta s:
A reta s passa pelos pontos (-1,0) e (0,3/4), então a sua inclinação é:
A reta procurada chamaremos de r e ela é perpendicular à reta s:
A reta r passa pela origem:
Equação fundamental da reta r:
6) ( Osec - SP ) A equação da reta que passa pelo ponto A(-3,4) e cujo coeficiente angular é 1/2 é:
a) x + 2y + 11 = 0 b) x - y + 11 = 0 c) 2x - y + 10 = 0 d) x - 2y + 11 = 0 e) n.d.a
A equação fundamental da reta é:
Desta forma, a alternativa correta é a d.
7) ( Ufla - MG 2004 ) Uma reta intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B e passa pelos pontos (-6,4) e (3,-8). A distância entre os pontos A e B é:
Primeiramente, vamos determinar a inclinação da reta:
Escolhemos um ponto da reta : (-6,4)
Agora determinaremos a equação fundamental da reta:
Como os pontos A e B pertencem à reta,temos, a partir do gráfico, A(x,0) e B(0,y) e poderemos determinar as suas coordenadas utilizando a equação da reta obtida acima.
Ponto A(x,0):
Assim, temos : A(-3,0)
Ponto B(0,y):
Assim, temos : B(0,-4)
Agora,calcularemos a distância entre os pontos A e B:
Desta forma, a alternativa correta é a e.
8) ( UFF - RJ ) Na figura a seguir, estão representadas as retas r e s.
Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e que OP mede 5cm, a equação de r é:
a) y = 3x/4 b) y = 4x/3 c) y = 5x/3 d) y = 3x e) y = 5x
O enunciado nos dá as seguintes informações: OP = 5cm e a equação da reta s é x = 3, então como o ponto P pertence à reta s temos : P = (3,y).
A partir do gráfico, temos um triângulo retângulo:
Assim, temos P(3,4) e (0,0) pertencentes à reta r. Agora podemos determinar a inclinação da reta r:
Agora, escolhemos um dos pontos de r ( no caso escolhemos a origem,mas poderia ser o ponto P) e determinaremos a sua equação:
Desta forma, a alternativa correta é a b.
9) ( Fuvest - SP ) As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2,4). A reta s passa pelo ponto (0,5). Uma equação da reta r é:
a) 2y + x = 10 b) y = x + 2 c) 2y - x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x
Como a reta s passa pelos pontos (0,5) e (2,4), temos:
As retas r e s são perpendiculares, então temos:
A reta r passa pelo ponto (2,4), então temos:
10) ( Unifacs - BA 2003 )
O triângulo ABC representado é equilátero e tem área igual a :
O triângulo ABC representado é equilátero e tem área igual a :
Nessas condições, a reta que contém o lado AB tem para equação:
Conforme o enunciado, o triângulo ABC é equilátero e possui área igual a:
Assim, temos AC = 4 , A = (-2,0) e C = (2,0).
Para determinarmos as coordenadas de B = (0, h), usaremos a altura do triângulo equilátero:
Inclinação da reta que contém AB:
Equação da reta que contém AB:
* Lembrando que escolhemos o ponto A=(-2,0), mas também poderíamos ter escolhido o ponto B.
Desta forma,a alternativa correta é a a.
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