Estudo da reta

1.Teorema angular

1.1. Inclinação da reta

A inclinação de uma reta é a medida do ângulo que esta forma com o eixo x, supondo que esta reta está num plano cartesiano e ela é concorrente com o eixo x.

Vejamos algumas propriedades referentes à inclinação de uma reta:

a) Retas paralelas possuem a mesma inclinação.

$m_{r}=m_{s}$

b) Retas perpendiculares possuem uma diferença de 90° entre as suas inclinações.

$m_{r}=-\frac{1}{m_{s}}$

1.2.Coeficiente angular de uma reta

O coeficiente angular ou declividade de uma reta r não perpendicular ao eixo x é o número m tal que:

$m=tg\alpha$

O coeficiente angular de uma reta é calculado através da tangente da inclinação da reta r ou pela razão entre a diferença das ordenadas e a diferença das abscissas:

$m_{AB}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Exemplos:

1) Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(5,2) e B(2,1).

$m_{AB}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{2-1}{5-2}=\frac{1}{3}$

2) Determine o coeficiente angular de cada reta abaixo:

$m_{AB}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{0-5}{4-2}=\frac{-5}{2}$

3) (PUC - SP) Os pontos A(k,0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Então, necessariamente:

$a)k=-1$ $b)k=-2$ $c)k=2$ $d)k\neq -2$ $e)k\neq 2$

Para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo eles não podem ser colineares. Então temos:

$m_{AB}\neq m_{BC}$

$m_{AB}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{0-(-2)}{k-1}=\frac{2}{k-1}$

$m_{BC}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{-2-2}{1-3}=2$

$m_{AB}\neq m_{BC}\Rightarrow \frac{2}{k-1}\neq 2\Rightarrow 2.\left ( k-1 \right )\neq 2\Rightarrow k\neq 2$

Desta forma, a alternativa correta é a e.

4) (FEB - SP) O valor k, tal que a reta que passa por A(k,2) e B(6,k) forme um ângulo de 45° com o eixo Ox ( no sentido positivo(, é:

$a)45$ $b)\frac{\pi }{4}$ $c)1$ $d)4$ $e)nda$

Como a reta forma 45° como eixo Ox, temos:

$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\Rightarrow 1=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\Rightarrow x_{B}-x_{A}=y_{B}-y_{A}$

$x_{B}-x_{A}=y_{B}-y_{A}\Rightarrow 6-k=k-2\Rightarrow k=4$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

5) (FGV - SP ) A declividade do segmento de reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(3,0)é:

a)+1 b) -1 c) 0 d) 3 e) 1/3

$m_{AB}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{0-3}{3-0}=-1$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

6)( Fatec - SP ) Se M1 e M2 são pontos médios, respectivamente, dos segmentos AB e CD, em que A(-1,6), B(3,6) e C(1,0), então o coeficiente angular da reta que contém M1 e M2 é:

$a)-1$ $b)3$ $c)2$ $d)\frac{-\sqrt{3}}{2}$ $e)\frac{3}{2}$

Calcularemos as coordenadas de M1:

$x_{M1}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-1+3}{2}=1$ $y_{M1}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+6}{2}=6$

$M1=\left ( 1;6 \right )$

Calcularemos as coordenadas de M2:

$x_{M2}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1+1}{2}=0$ $y_{M2}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{6+0}{2}=3$

$M2=\left ( 0;3 \right )$

Agora calcularemos as coordenadas da reta que contém M1 e M2:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{M2}-y_{M1}}{x_{M2}-x_{M1}}=\frac{3-6}{0-1}=3$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

7) (Unicamp - SP ) Um foguete com ogiva nuclear foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra e cairá perigosamente de volta à Terra. Se a trajetória plana desse foguete segue o gráfico da equação

$y=-x^{2}+300x$ , com que inclinação se deve lançar outro foguete com trajetória retilínea, do mesmo ponto de lançamento, para que esse último intercepte e destrua o primeiro no ponto mais distante da Terra?

O foguete será lançado do ponto (0,0). Como a equação de trajetória do foguete é uma parábola cuja concavidade está voltada para cima, poderemos calcular o ponto mais distante a partir de seu vértice:

$x_{V}=\frac{-b}{2a}=\frac{-300}{2.(-1)}=150$ $y_{V}=-150^{2}+300.150=22500$

Ponto mais distante: (150, 22500).

Tanto o ponto de lançamento (0,0) quanto o ponto mais distante (150, 22500) pertencem a uma mesma reta, então poderemos calcular a inclinação da reta:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{22500}{150}=150$ $m=tg \alpha \Rightarrow 150=tg \alpha \Rightarrow \alpha =arc tg 150$

8) (FGV - SP ) Considere os pontos A(2,3), B(6,5), C(3,-1) e D(5,t) do plano cartesiano. Sabendo que as retas AB e CD são paralelas, podemos afirmar que:

a) t = 3 b) t = -3 c) t = 5 d) t = 0 e) t = -1

Conforme o enunciado, temos AB // CD, logo temos:

$m_{AB}=m_{CD}$

$m_{AB}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{3-5}{2-6}=\frac{1}{2}$ $m_{CD}=\frac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}}=\frac{t-(-1)}{5-3}=\frac{t+1}{2}$

$m_{AB}=m_{CD}$

$\frac{1}{2}=\frac{t+1}{2}\Rightarrow t+1=1\Rightarrow t=0$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

1.3.Condição de alinhamento para três pontos

Para verificarmos se três pontos $A\left ( x_{A},y_{A} \right )$ , $B\left ( x_{B},y_{B} \right )$ e $C\left ( x_{C},y_{C} \right )$ estão alinhados,podemos calcular o seu determinante e se este for igual a zero, os mesmos estão alinhados:

$\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B} &y_{B} &1 \\ x_{C} & y_{C} &1 \end{vmatrix}=0$

☝Neste caso, os pontos estão alinhados

Mas também podemos verificar se os pontos estão alinhados através de coeficientes angulares. Se tivermos $m_{AB}=m_{BC}$ , os pontos estarão alinhados.

Exemplos:

1) Os pontos A(3,5), B(-8,1) e C(2,3) são colineares?

Para que tenhamos A, B e C colineares, o determinante que os contém deverá ser igual a zero. Então deveremos verificar isso:

$\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B}& y_{B} &1 \\ x_{C}& y_{C} &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1\\ -8&1 &1 \\ 2& 3 &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 3& 5\\ -8 & 1 &1 &-8 & 1\\ 2&3 &1 &2 &3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B}& y_{B} &1 \\ x_{C}& y_{C} &1 \end{vmatrix}=\left \{ \left ( 3.1.1+5.1.2+1.(-8).3 \right )-\left ( 5.(-8).1+3.1.3+1.1.2 \right ) \right \}$

$\begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B}& y_{B} &1 \\ x_{C}& y_{C} &1 \end{vmatrix}=-11-(-29)=18$

Como o determinante não é igual a zero, concluímos que os pontos A, B e C não são colineares.

2) Os pontos (3,-5), (2,1) e (4,k) estão numa mesma reta. Determine o valor de k.

Como os pontos estão numa mesma reta, temos:

$\begin{vmatrix} 3 & -5 &1 \\ 2 &1 & 1\\ 4 & k &1 \end{vmatrix}=0$ $\Rightarrow \begin{vmatrix} 3 & -5 & 1 &3 &-5 \\ 2& 1 & 1 &2 &1 \\ 4 & k& 1 &4 & k \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} 3 &-5 & 1\\ 2 & 1 &1 \\ 4 &k & 1 \end{vmatrix}=\left \{ \left ( 3.1.1+(-5).1.4+1.2.k \right )-\left ( (-5).2.1+3.1.k+1.1.4 \right ) \right \}$

$\left \{ \left ( 3+(-20)+2k \right )-\left ( -10+3k+4 \right ) \right \}=0$

$-k-11=0\Rightarrow k=-11$

3) (UFPE - PE 2003) Os pontos P1=(1,t) e P2=(1/2,1/2) e P3=(0,-2) são colineares se t for igual a :

a)1/2 b) 2 c) 5/2 d) 3 e) 3/2

Como os pontos P1, P2 e P3 são colineares, temos:

$\begin{vmatrix} 1 & t & 1\\ \frac{1}{2} &\frac{1}{2} & 1\\ 0& -2 & 1 \end{vmatrix}=0$ $\begin{vmatrix} 1 & t & 1 & 1 &t \\ \frac{1}{2} &\frac{1}{2} & 1 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 &-2 & 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}=0$

$\left \{ \left ( 1.\frac{1}{2}.1+t.1.0+1.\frac{1}{2}.\left ( -2 \right ) \right )-\left ( t.\frac{1}{2}.1+1.1.(-2)+1.\frac{1}{2}.0 \right ) \right \}=0$

$\left ( -1+\frac{1}{2} \right )-\left ( -2+\frac{t}{2} \right )=0$

$\left ( \frac{-2+1}{2} \right )-\left ( \frac{-4+t}{2} \right )=\frac{0}{2}$

$-1+4-t=0\Rightarrow t=3$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

4) (PUC - SP) Os pontos A(k,0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Então necessariamente:

$a) k = -1$ $b) k = -2$ $c) k = 2$ $d) k \neq - 2$ $e) k \neq 2$

Para que os potos A, B e C formem um triângulo, eles não poderão ser colineares, então teremos:

$m_{AB}\neq m_{BC}$

$m_{AB}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{0-(-2)}{k-1}=\frac{2}{k-1}$ $m_{BC}=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{-2-2}{1-3}=2$

$m_{AB}\neq m_{BC}$

$\frac{2}{k-1}\neq 2$

$2\neq 2(k-1)\Rightarrow k-1\neq 1\Rightarrow k\neq 2$

Desta forma, a alternativa correta é a e.

5) ( Unicamp - SP ) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B, C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.

b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.

De acordo com o enunciado, temos os pontos com as seguintes coordenadas:

$A(2,\frac{1}{2})$ $B(3,\frac{1}{3})$ $C(4,\frac{1}{4})$ $D(x,\frac{1}{x})$

Como temos AB // CD: $m_{AB}=m_{CD}$

$\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y_{D}-y_{C}}{x_{D}-x_{C}}$

$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}{3-2}=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{4}}{x-4}$

$\frac{\frac{2-3}{6}}{1}=\frac{\frac{4-x}{4x}}{x-4}$

$\frac{-1}{6}=\frac{\frac{4-x}{4x}}{x-4}$

$\left ( -1 \right ).\left ( x-4 \right )=6.\left (\frac{4-x}{4x} \right )$

$\frac{4x(-x+4)}{4x}=\frac{24-6x}{4x}$

$-4x^{2}+22x-24=0$

$x=\frac{3}{2}$

$D=\left ( x,\frac{1}{x} \right )=\left ( \frac{3}{2},\frac{2}{3} \right )$

b) Chamaremos de M o ponto médio do segmento AB e de N o ponto médio do segmento CD.

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$ $y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{\frac{3+2}{6}}{2}=\frac{5}{6}.\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$

$M=\left ( \frac{5}{2},\frac{5}{12} \right )$

$x_{N}=\frac{x_{C}+x_{D}}{2}=\frac{4+\frac{3}{2}}{2}=\frac{\frac{8+3}{2}}{2}=\frac{11}{2}.\frac{1}{2}=\frac{11}{4}$

$y_{N}=\frac{y_{C}+y_{D}}{2}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}}{2}=\frac{\frac{3+8}{12}}{2}=\frac{11}{12}.\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$

$N=\left ( \frac{11}{4},\frac{11}{24} \right )$

Agora calcularemos o coeficiente angular da reta MN:

$m_{MN}=\frac{y_{M}-y_{N}}{x_{M}-x_{N}}=\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}=\frac{\frac{10-11}{24}}{\frac{10-11}{4}}=\frac{\frac{-1}{24}}{\frac{-1}{4}}=\frac{-1}{24}.\frac{-4}{1}=\frac{1}{6}$