Funções - Estudo do domínio de uma função real

Domínio de uma função

Devemos garantir que as operações indicadas na lei de formação da função sejam possíveis de ser realizadas, ou seja, devemos determinar o domínio da função.

Em algumas situações, teremos que restringir elementos do conjunto dos números reais. Vejamos estas situações:

$\left ( I \right )f(x)=\frac{A}{B(x)}$ , em que ${B(x)}$ é uma expressão em x.

$B(x)\neq 0$ , pois não existe divisão por 0!

Desta forma, o domínio da função é dado por:

$D=\left \{ x\epsilon R/B(x)\neq 0 \right \}$

Exemplos:

1) (Cefet - PR) Se $f(x)=\frac{2x^{3}-x^{2}}{x^{5}-x^{3}}$ é uma função de D em R, então D é o conjunto:

$a)\left \{ x\epsilon R/x\neq 0 \right \}$ $b)\left \{ x\epsilon R/x\neq 0 e x\neq \pm 1 \right \}$ $c)\left \{ x\epsilon R/0< x< 1oux> -1 \right \}$

$d)\left \{ x\epsilon R/ x> 1oux< -1 \right \}$ $e)\left \{ x\epsilon R/-1< x< 0 ou x> 1 \right \}$

$f(x)=\frac{2x^{3}-x^{2}}{x^{5}-x^{3}}$

O denominador da fração que representa a função não pode ser igual a zero:

$x^{5}-x^{3}\neq 0$

$x^{3}\left ( x^{2}-1 \right )\neq 0$

$x^{3}\neq 0\Rightarrow x\neq 0$ ou $x^{2}-1\neq 0\Rightarrow x\neq \pm 1$

$D=\left \{ x\epsilon R/x\neq 0oux\neq \pm 1 \right \}$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

2) Determine o domínio de $f(x)=9x+8$ .

Nesta função não há nenhum tipo de restrição, então teremos como domínio o conjunto dos números reais:

$D=R$

$\left ( II \right )f(x)=\sqrt[2n]{B(x)}$ , em que ${B(x)}$ é uma expressão em x e $n\epsilon N^{*}$ .

Neste caso, temos raízes quadradas e suas múltiplas, as quais só existem para números positivos no conjunto dos números reais: $B(x)\geq 0$ .

Desta forma, o domínio da função é dada por:

$D=\left \{ x\epsilon R/B(x\geq 0) \right \}$

Exemplos:

1) ( PUC - SP ) Qual o domínio da função $f:x\rightarrow \sqrt{-\left ( x^{3}-1 \right )^{2}}$ ?

$-\left ( x^{3}-1 \right )^{2}\geq 0$

$-\left ( x^{3}-1 \right )^{2}\geq 0.\left ( -1 \right )$

$\left ( x^{3}-1 \right )^{2}\leq 0$

Resolveremos a equação $\left ( x^{3}-1 \right )^{2}= 0$ :

$x^{3}-1=0\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=1$

$D=\left \{ 1 \right \}$

2) Determine o domínio das funções reais:

$a) g(x)=\frac{3x}{\sqrt{x-2}}$

Neste caso, temos $x-2> 0$ ( observemos que o zero não entra no domínio, pois a raiz está no denominador):

$x-2> 0\Rightarrow x> 2$

$D=\left \{ x\epsilon R/x> 2 \right \}$

$b) y=\frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{x-2}}$

$(I)3x+1\geq 0$

$x\geq \frac{-1}{3}$

$(II) x-2>0$

$x>2$

Agora, procuraremos a intersecção entre ( I ) e ( II ) para determinarmos o domínio:

$D=\left \{ x\epsilon R/x>2 \right \}$

3) ( Mackenzie - SP ) A função real $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{x^{2}+2x+1}}$ tem domínio de validade igual a :

$a) R$ $b) R-\left \{ 1 \right \}$ $c) R-\left \{- 1 \right \}$ $d) R-\left \{- 1;1 \right \}$ $e) R_{+}$

$f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{x^{2}+2x+1}}$

Teremos duas restrições e acharemos a intersecção entre elas para determinar o domínio:

$(I)x^{2}-2x+1>0$ e $(II)x^{2}+2x+1>0$

$(I)x^{2}-2x+1>0$

Resolveremos a equação $x^{2}-2x+1=0\Rightarrow x=1$ e faremos o estudo do sinal para verificar onde temos $x^{2}-2x+1>0$ :

Pelo gráfico acima, observamos que $x^{2}-2x+1>0 \Rightarrow \left \{ x\epsilon R/x\neq 1 \right \}$ :

$(II)x^{2}+2x+1>0$

Resolveremos a equação $x^{2}+2x+1=0 \Rightarrow x=-1$ e faremos o estudo do sinal para verificar onde temos $x^{2}+2x+1>0$ :

Pelo gráfico acima, observamos que $x^{2}+2x+1>0 \Rightarrow \left \{ x\epsilon R/x\neq -1 \right \}$ :

Agora encontraremos o domínio da função:

$D=\left \{ x\epsilon R/x\neq -1ex\neq 1 \right \} =R-\left \{ -1;1 \right \}$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

4) ( Uespi - PI 2003 ) O domínio da função real f definida por:

$f(x)=\frac{1}{\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )}$ é:

$a) D=\left \{ x\epsilon R/x\neq 1 \right \}$ $b) D=\left \{ x\epsilon R/x\neq 2 \right \}$ $c) D=\left \{ x\epsilon R/x\neq 1ex\neq 2 \right \}$

$d) D=\left \{ 1,+\infty \right \}$ $e) D=\left \{ -\infty,2 \right \}$

$f(x)=\frac{1}{\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )}$

$\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )\neq 0$

$x\neq 1$ e $x\neq 2$

$D=\left \{ x\epsilon R/x\neq 1ex\neq 2 \right \}$

Desta forma, a alternativa correta é a c.

5) ( FMTM - MG) O domínio da função real dada por $f\left ( x \right )=\frac{\sqrt{3-2x}}{\sqrt{x-1}}$ é o conjunto:

$a)\left \{ x\epsilon R/x\leq \frac{3}{2}ex\neq 1 \right \}$ $b)\left \{ x\epsilon R/1<x\leq \frac{3}{2} \right \}$ $c)\left \{ x\epsilon R/x\neq 1 \right \}$

$d)\left \{ x\epsilon R/x> 1 \right \}$ $e)\left \{ x\epsilon R/x\geq \frac{3}{2} \right \}$

$f(x)=\frac{\sqrt{3-2x}}{\sqrt{x-1}}$

Neste caso, temos duas restrições:

$(I)3-2x\geq 0$ e $(II)x-1> 0$ .

$(I)3-2x\geq 0$

$x\leq \frac{2}{3}$

$(II)x-1> 0$

$x> 1$

Agora, para determinar o domínio da função,procuraremos a intersecção entre ( I ) e ( II ):

$D=\left \{ x\epsilon R/1< x\leq \frac{3}{2} \right \}$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

6) ( Uespi - PI 2003 ) A função f definida por $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left ( x-3 \right )\left ( 2-x \right )}}$ tem por conjunto domínio o intervalo real:

$a)]2,3]$ $b)]2,3[$ $c)[2,3[$ $d)(-\infty ,2[U]3,+\infty )$ $e)(\infty ,2]U[3,+\infty )$

Nesta função, teremos a seguinte restrição:

$\left ( x-3 \right )\left ( 2-x \right )> 0$

Conforme os exercícios anteriores, resolveremos a equação $\left ( x-3 \right )\left ( 2-x \right )= 0$ e faremos o estudo do sinal:

$\left ( x-3 \right )\left ( 2-x \right )= 0$

$\left ( x-3 \right )=0\Rightarrow x=3$ ou $\left (2-x \right )=0\Rightarrow x=2$

$D=\left \{ x\epsilon R/2<x<3 \right \}=]2;3[$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

7) ( ESPM -SP ) Qual o domínio de validade da função $f(x)=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{x+3}}$ real?

Temos duas restrições nesta função:

$\left ( I \right )x+3\neq 0$ ( isto se dá pelo fato de termos uma raiz cúbica no denominador, logo ele não pode ser zero!)

$x\neq -3$

$\left ( II \right )1+x\geq 0$

$x\geq -1$

Agora, encontraremos a intersecção entre (I) e (II) para definirmos o conjunto domínio da função:

$D=\left \{ x\epsilon R/x\geq -1 \right \}$

8) ( UFRGS - RS 2003) Se x é um número real, então $\frac{x}{x+1}$ nunca assume o valor:

$a) -2$ $b) -1$ $c) 0$ $d) 1$ $e) 2$

A única restrição que temos neste caso é que o denominador não pode ser igual a zero:

$x+1\neq 0$

$x\neq -1$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

9) ( Unifei - MG 2003 ) A soma S de todos os valores inteiros de x que pertencem ao domínio da função $f:R\rightarrow R$ definida por $f(x)=\sqrt{\frac{5}{24+2x-x^{2}}}$ é igual a :

$a) 15$ $b) 11$ $c) 9$ $d) 6$

A única restrição que temos nesta função é:

$24+2x-x^{2}> 0$

$24+2x-x^{2}= 0\Rightarrow x_{1}=-4$ e $x_{2}=6$ .

A partir do gráfico acima, temos que $24+2x-x^{2}> 0$ no intervalo destacado em azul: ]-4;6[.

Este intervalo representa o domínio da função: $D=\left \{ x\epsilon R/-4<x<6 \right \}$

Valores inteiros de x que pertencem ao domínio: {-3;-2;-1;0;1;2;3;4} e a soma destes valores é igual a 9.

Desta forma, a alternativa correta é a c.

10) ( UFRGS - SP ) O domínio da função real de variável real definida por $f(x)=\sqrt{\left ( 1-x \right )\left ( 3+x \right )}$ é o intervalo:

$a) (-\infty ,-3]$ $b)[-3,-1)$ $c)(-3,0)$ $d)[-3,1]$ $e)[1,+\infty )$

A restrição que temos nesta função é a seguinte:

$\left ( 1-x \right )\left ( 3+x \right )\geq 0$

$\left ( 1-x \right )\left ( 3+x \right )=0$

$1-x=0\Rightarrow x=1$ ou $3+x=0\Rightarrow x=-3$ .

A partir do gráfico acima, temos que $\left ( 1+x \right )\left ( 3+x \right )\geq 0$ no intervalo destacado em amarelo: [-3;1].

Este intervalo representa o domínio da função: $D=\left \{ x\epsilon R/-3\leq x\leq 1 \right \}=[-3;1]$ .

Desta forma, a alternativa correta é a d.

11) ( Fuvest - SP ) Considere a função f dada por $f(x)=\frac{x+5-\frac{12}{x+1}}{\frac{x+9}{x+1}-\frac{5}{x}}$ . Determine o seu domínio de validade.