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Operações entre matrizes

1. Adição de matrizes

Podemos obter a soma de duas matrizes de mesma ordem m x n, somando-se os elementos correspondentes de cada uma das matrizes. Ou seja, dadas duas matrizes A e B de mesma ordem, sua soma será dada por uma matriz C, na qual cada elemento será dado por:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ ,

Exemplos:

1) Dadas

$A=\begin{bmatrix} 8 & -9\\ 5 & 4 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 5 & 7\\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ , calcule C= A+B.

$C=\begin{bmatrix} 8 &-9 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 5 & 7\\ 4& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8+5 &\left ( -9 \right )+7 \\ 5+4 & 4+2 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 13 & -2\\ 9 & 6 \end{bmatrix}$

2) Seja C uma matriz quadrada de ordem 2, a soma das matrizes A e B dadas abaixo. Calcule a soma

$c_{11}+c_{21}+c_{22}$ .

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} -3 & 5\\ 4 & 1 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 1+\left ( -3 \right ) & 2+5\\ 3+4 &4+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 7\\ 7& 5 \end{bmatrix}$

$c_{11}+c_{21}+c_{22}=\left ( -2 \right )+7+5=10$

3) FEI - SP Se as matrizes $A=\left (a_{ij} \right )$ e $B=\left (b_{ij} \right )$ estão assim definidas

em que

então a matriz A+B é:

$a)\begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}$ $b)\begin{pmatrix} 0 &0 & 1\\ 0& 1 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{pmatrix}$ $c)\begin{pmatrix} 1 &0 & 1\\ 0& 1 & 0\\ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}$ $d)\begin{pmatrix} 1 &0 & 1\\ 0& 2 & 0\\ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}$ $e)\begin{pmatrix} 1 &1 & 0\\ 0& 1 & 1\\ 0 & 1 &0 \end{pmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0&1 & 0\\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} & b_{13}\\ b_{21}& b_{22} &b_{23} \\ b_{31}&b_{32} &b_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0&1 & 0\\ 1&0 &0 \end{bmatrix}$

$A+B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 0 &1 \\ 0& 1 & 0\\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A+B=\begin{bmatrix} 1+0 & 0+0 & 0+1\\ 0+0& 1+1 &0+0 \\ 0+1&0+0 &1+0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & 2 &0 \\ 1 &0 & 1 \end{bmatrix}$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

1.1.Propriedades da Adição de matrizes

Propriedade Comutativa: $A+B=B+A$

Propriedade Associativa: $\left (A+B \right )+C=A+\left ( B+C \right )$

Elemento Neutro: $A+0=0+A=A$

Elemento Oposto: $A+\left ( -A \right )=\left ( -A \right )+A=0$

Cancelamento: $A=B\Leftrightarrow A+C=B+C$

2.Subtração de matrizes

Podemos obter a diferença de duas matrizes de mesma ordem m x n, subtraindo-se os elementos correspondentes de cada uma das matrizes. Ou seja, dadas duas matrizes A e B de mesma ordem, sua diferença será dada por uma matriz C, na qual cada elemento será dado por:

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ ,

Exemplos:

1) Dadas $A = \begin{bmatrix} 2 &4 &6 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 3 &5 &7 \end{bmatrix}$ , calcule A-B.

$A-B=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 2-3 &4-5 & 6-7 \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

2) Dadas as matrizes A e B, calcule A-B.

$A=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 1 &5 \\ 7 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$

$A-B= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 7& \sqrt{2} \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 1-1 & 2-5\\ 0-7 & 5-\sqrt{2} \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 0 & -3\\ -7 & 5-\sqrt{2} \end{bmatrix}$

3) Determine os valores de x e y, sabendo que:

$\begin{pmatrix} x^{2} &1 \\ 1 & y^{2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 &1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x^{2}-4 &1-1 \\ 1-3&y^{2}-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ -2& 4 \end{pmatrix}$

$x^{2}-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

$y^{2}-5=4\Rightarrow y^{2}=9\Rightarrow y=\pm 3$

3.Multiplicação de um número real por uma matriz

Dada uma matriz $A=\left ( a_{ij} \right )_{mxn}$ , podemos multiplicá-la por um número real k, obtendo-se uma nova matriz, ou seja, multiplicaremos cada elemento da matriz A por k.

Exemplos:

$A=\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 5 & \sqrt[3]{2} \end{bmatrix}$ $2A=\begin{bmatrix} 2.\left (-3 \right ) &2. 1\\ 2.5 & 2.\sqrt[3]{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 & 2\\ 10&2.\sqrt[3]{2} \end{bmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 5 & 3 &10 \\ 1 & 15 & \sqrt{3}\\ 0 &5 & 10 \end{pmatrix}$ $\frac{1}{5}A=\begin{pmatrix} \frac{1}{5}.5 & \frac{1}{5}.3 &\frac{1}{5}.10 \\ \frac{1}{5}.1 & \frac{1}{5}.15 &\frac{1}{5}. \sqrt{3}\\ \frac{1}{5}.0 &\frac{1}{5}.5 &\frac{1}{5}. 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} &2 \\ \frac{1}{5} & 3 &\frac{\sqrt{3}}{5} \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

3) FACEAG - SP Dadas as matrizes

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 3 &4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & -3\\ -1 & -2 &3 \end{bmatrix}$ , então 3A- 4B é igual a:

$a)\begin{bmatrix} 13 & -3&18 \\ 4 & 17 & 0 \end{bmatrix}$ $b)\begin{bmatrix} -13 & -3&-18 \\ 4 & 17 & 0 \end{bmatrix}$ $c)\begin{bmatrix} -13 & -3 &18 \\ 4&17 & 0 \end{bmatrix}$

$d)\begin{bmatrix} -13 & -3&-18 \\ -4 & -17 & 0 \end{bmatrix}$ $e)$ Operação não definida

$3A=\begin{bmatrix} 3.1 & 3.\left ( -1 \right ) & 3.2\\ 3.0& 3.3& 3.4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & -3 & 6\\ 0 & 9 & 12 \end{bmatrix}$

$4B=\begin{bmatrix} 4.4 & 4.0 & 4.\left ( -3 \right )\\ 4.\left ( -1 \right ) &4.\left ( -2 \right ) & 4.3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 16 & 0& -12\\ -4 & -8 &12 \end{bmatrix}$

$3A-4B=\begin{bmatrix} 3-16 & -3-0 &6-\left ( -12 \right ) \\ 0-\left ( -4 \right )&9-\left ( -8 \right ) &12-12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -13 & -3 &18 \\ 4 & 17 & 0 \end{bmatrix}$

Desta forma, a alternativa correta e a c.

4) Resolva o sistema e encontre as matrizes X e Y:

$A=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 4\\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$ .

$2A=\begin{bmatrix} 2\\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$ $4B=\begin{bmatrix} 16\\ 20 \\ 24 \end{bmatrix}$ $2A+4B=\begin{bmatrix} 2+16\\ 4+20 \\6+24 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 18\\ 24 \\30 \end{bmatrix}$

$X=\frac{1}{2}.\begin{bmatrix} 18\\ 24 \\ 30 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\ 12 \\15 \end{bmatrix}$

$X+Y=2A\Rightarrow Y=2A-X$

$Y=\begin{bmatrix} 2\\4 \\6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 9\\ 12 \\ 15 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7\\-8 \\ -9 \end{bmatrix}$

31.Propriedades

Sendo A e B duas matrizes quaisquer do mesmo tipo e a e b dois números reais quaisquer, o produto de um número por uma matriz possui as seguintes propriedades:

$a) a.\left ( b.A \right )=\left ( ab \right ).A$

$b)a.\left ( A+B \right )=a.A+b.A$

$c)\left ( a+b \right ).A=a.A+b.A$

$d)1.A=A$

4. Equações matriciais

Equações matriciais são equações que possuem matrizes como incógnitas.

Exemplos:

1) Dadas a matrizes A e B, obtenha a matriz X tal que X - A = B.

$A=\begin{bmatrix} 1 & -10\\ 5 & 4 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 8 & 9\\ 81 & 64 \end{bmatrix}$ .

$X-A=B\Rightarrow X=B+A$

$X=\begin{bmatrix} 1+8 &-10+9 \\ 5+81& 4+64 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & -1\\ 86 & 68 \end{bmatrix}$

2) UFRN - RN A solução da equação matricial

$\begin{bmatrix} -1 &2 \\ x & x^{2}-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+1 & x+4\\ 3x+4 & 2 \end{bmatrix}$ é um número:

a) maior que -1 b) menor que -1 c) maior que 1 d) entre -1 e 1 e) entre 0 e 3

$-1=x+1\Rightarrow x=-2$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

3) Determine as matrizes X e Y:

$A=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \\4 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 3\\ 5 \\7 \end{bmatrix}$ .

$X=\begin{bmatrix} 1-3\\2-5 \\4-7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2\\ -3 \\ -3 \end{bmatrix}$

$Y=\begin{bmatrix} 3-(-2)\\ 5-(-3)) \\ 7-(-3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 8 \\10 \end{bmatrix}$

5. Multiplicação de matrizes

A multiplicação de duas matrizes só será possível quando tivermos o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B:

$A_{mxn}$ e $B_{nxp}$

Assim, o produto da matriz A pela matriz B será dado por:

$A_{m xn}.B_{nxp}= C_{mxp}$

Basicamente, o produto de duas matrizes é obtido multiplicando-se as linhas de uma matriz pelas colunas da segunda matriz, conforme veremos nos exemplos a seguir.

Exemplos:

1) Dadas as matrizes A e B, calcule A.B.

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -2& 5 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 1\\ -4 \\3 \end{bmatrix}$ .

Neste caso, não é possível realizarmos a multiplicação, pois o número de colunas da matriz A (2 colunas) é diferente do número de linhas da matriz B(3 linhas).

2) Dadas as matrizes A e B, calcule A.B.

$A=\begin{bmatrix} 10 & 5\\ 7 & 4 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}$ .

Observemos que :

$A=\left (a_{ij} \right )_{2x2}$ e $B=\left (b_{ij} \right )_{2x1}$ , então será possível realizarmos a multiplicação A.B:

$A.B=\begin{bmatrix} 10.1+5.3\\7.1+4.3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 25\\19 \end{bmatrix}$

3) Determine o produto das matrizes abaixo:

$A=\begin{bmatrix} 1 & -5\\ 2 & 3\\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2& 1 \end{bmatrix}$

$C=A.B=\begin{bmatrix} 1.4+\left ( -5 \right ).2 & 1.3+\left ( -5 \right ).1\\ 2.4+3.2 &2.3+3.1 \\ 0.4+4.2 & 0.3+4.1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 & -2\\ 14 &9 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}$

4) Fuvest - SP Considere as matrizes

$A=\left (a_{ij} \right )_{4x7}$ , onde $a_{ij}=i-j$

$B=\left (b_{ij} \right )_{7x9}$ , onde $b_{ij}=i$

$C=\left (c_{ij} \right )_{}$ e $C=A.B$ .

O elemento $C_{63}$ é:

a) -112 b)-18 c)-56 d) 112 e) não existe

Como a matriz A é 4x7 e a matriz B é 7x9, teremos:

$C=\left (c_{ij} \right )_{4x9}$

Logo, $C_{63}$ não existe.

A alternativa correta é a e.

5) UFC - CE 2004

O valor de a para que a igualdade matricial

$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ -1& a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ seja verdadeira é:

a) 1 b) 2 c) 0 d) -2 e) -1

$\begin{bmatrix} 2.1+1.\left ( -1 \right ) &2.\left ( -1 \right )+1.a \\ 1.1+1.\left ( -1 \right )&1.\left ( -1 \right ) +1.a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & -2+a\\ 0 &-1+a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$-2+a=0\Rightarrow a=2$

A alternativa correta é a b.

6)Fatec - SP 2003 Seja a matriz

$A=\begin{bmatrix} 1 & b\\ a & 1 \end{bmatrix}$ tal que $A^{2}=\begin{bmatrix} -19 & -8\\ 10 & -19 \end{bmatrix}$ .

É verdade que a+b é igual a :

a) 0 b) 1 c) 9 d) -1 e) -9

$A^{2}=\begin{bmatrix} -19 & -8\\ 10 & -19 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & b\\ a & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &b \\ a&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -19 &-8 \\ 10 & -19 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1+ab & b+b\\ a+a & ab+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -19 & -8\\ 10 & -19 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1+ab & 2b\\ 2a & ab+1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -19 & -8\\ 10 & -19 \end{bmatrix}$

$2b=-8\Rightarrow b=-4$

$2a=10\Rightarrow a=5$

$a+b=5+\left ( -4 \right )=1$

Logo a alternativa correta é a b.

7) PUC-RS Sabendo que $\begin{bmatrix} x & y\\ z & w \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , o valor de y.z é:

a) -6 b) -5 c) -1 d) 5 e) 6

$\begin{bmatrix} x & y\\ z & w \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3x+y & 5x+2y\\ 3z+w & 5z+2w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Resolveremos o sistema acima pelo método da substituição:

Agora resolveremos o outro sistema pelo método da substituição:

Sendo assim, teremos:

Logo, a alternativa correta é a d.

8) UFSCar - SP 2002 - Seja a matriz $M=\left ( m_{ij} \right )_{2x3}$ , tal que $m_{ij}=j^{2}-i^{2}$ .

a) Escreva M na forma matricial.

b) Sendo $M^{t}$ a matriz transposta de M, calcule o produto $M.M^{t}$ .

$a) M=\begin{bmatrix} m_{11} &m_{12} &m_{13} \\ m_{21}&m_{22} &m_{23} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 8\\ -3 &0 & 5 \end{bmatrix}$

$b)M^{t}=\begin{bmatrix} 0 & -3\\ 3 & 0\\ 8 & 5 \end{bmatrix}$ $M.M^{t}=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 8\\ -3 & 0 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -3\\ 3 & 0\\ 8 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.0+3.3+8.8 & 0.(-3)+3.0+8.5\\ (-3).0+0.3+5.8 & (-3).(-3)+0.0+5.5 \end{bmatrix}$

$M.M^{t}=\begin{bmatrix} 73 & 40\\ 40 & 34 \end{bmatrix}$

5.1. Propriedades da multiplicação de matrizes

5.1.1. A multiplicação de matrizes não é comutativa:

Exemplos:

$A=\begin{bmatrix} -1 &-2 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} -3 &4\\ 6 & 5 \end{bmatrix}$

$A.B=\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 5& 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 & 4\\ 6 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left ( -1 \right ).\left ( -3 \right )+\left ( -2 \right ).6 &\left ( -1 \right ).4+\left ( -2 \right ).5 \\ 5.\left ( -3 \right )+7.6&5.4+7.5 \end{bmatrix}$

$A.B= \begin{bmatrix} -9 & -14\\ 27& 55 \end{bmatrix}$

$B.A=\begin{bmatrix} -3 & 4\\ 6 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 &-2 \\ 5& 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left ( -3 \right ).\left ( -1 \right )+4.5 & \left ( -3 \right ).\left ( -2 \right )+4.7\\ 6.\left ( -1 \right )+5.5& 6.\left ( -2 \right )+5.7 \end{bmatrix}$

$B.A=\begin{bmatrix} 23 & 34\\ 19 & 23 \end{bmatrix}$

Observemos que $A.B \neq B.A$ .

5.1.2. A propriedade do cancelamento não é válida na multiplicação de matrizes:

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ $C=\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 3& 1 \end{bmatrix}$

$A.B=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.1+2.2 & \\ 1.(-1)+2.1 3.1+4.2 & 3.(-1)+4.1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 1\\ 9& 1 \end{bmatrix}$

$A.C=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.(-1)+2.3 & 1.\left ( -1 \right )+2.1\\ 3.(-1)+4.3 & 3.(-1)+4.1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 1\\ 9 & 1 \end{bmatrix}$

5.1.3. A propriedade do anulamento não é válida na multiplicação de matrizes:

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 4 & -4\\ -3 & 3 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{bmatrix}$

$A.B=\begin{bmatrix} 4 &-4 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4.2+(-4).2 & 4.2+(-4).2\\ (-3).2+3.2 & (-3).2+3.2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

5.1.4. Na multiplicação de matrizes são válidas as propriedades associativa e distributiva:

(1)

$A.\left ( BC \right )=\left ( AB \right ).C$

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} -3 &4 \end{bmatrix}$ $C=\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{bmatrix}$

$B.C=\begin{bmatrix} -3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (-3).1+4.3 &(-3).2+4.4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 10 \end{bmatrix}$

$A.\left ( BC \right )=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 9 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2.9 &2.10 \\ 3.9& 3.10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 18 & 20\\ 27 & 30 \end{bmatrix}$

$A.B=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} -3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2.(-3) & 2.4\\ 3.(-3)& 3.4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 &8 \\ -9 & 12 \end{bmatrix}$

$\left ( AB \right ).C=\begin{bmatrix} -6 &8 \\ -9 &12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (-6).1+8.3 &(-6).2+8.4 \\ (-9).1+12.3 & (-9).2+12.4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 18 & 20\\ 27 & 30 \end{bmatrix}$

Observemos que $A.\left ( BC \right )=\left ( AB \right ).C$ .

(2)

$\left ( A+B \right ).C=AC+BC$

$A=\begin{bmatrix} -10\\9 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}$ $C=\begin{bmatrix} 4 & 5 \end{bmatrix}$

$A+B=\begin{bmatrix} -10\\ 9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -10+5\\ 9+7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5\\ 16 \end{bmatrix}$

$\left ( A+B \right ).C=\begin{bmatrix} -5\\ 16 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left ( -5 \right ).4 &\left ( -5 \right ).5 \\ 16.4& 16.5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -20 &-25 \\ 64& 80 \end{bmatrix}$

$A.C=\begin{bmatrix} -10\\9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left ( -10 \right ).4 & \left ( -10 \right ).5\\ 9.4& 9.5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -40 &-50 \\ 36&45 \end{bmatrix}$

$B.C=\begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5.4 & 5.5\\ 7.4& 7.5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20 & 25\\ 28& 35 \end{bmatrix}$

$AC+BC=\begin{bmatrix} -40 & -50\\ 36& 45 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 20 & 25\\ 28 & 35 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -20 &-25 \\ 64& 80 \end{bmatrix}$

Desta forma, concluímos que :

$\left ( A+B \right ).C=AC+BC$

(3)

$A\left ( B+C \right )=AB+AC$

$A=\begin{bmatrix} 7\\9 \\8 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 10 & 9 \end{bmatrix}$ $C=\begin{bmatrix} -2 & -5 \end{bmatrix}$

$B+C=\begin{bmatrix} 10 & 9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 & -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 & 4 \end{bmatrix}$

$A.\left (B+C \right )=\begin{bmatrix} 7\\ 9 \\ 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7.8 &7.4 \\ 9.8 &9.4 \\ 8.8 &8.4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 56 & 28\\ 72 & 36\\ 64 &32 \end{bmatrix}$

$A.B=\begin{bmatrix} 7\\9 \\8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10 & 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7.10 & 7.9\\ 9.10 &9.9 \\ 8.10& 8.8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 70 & 63\\ 90& 81\\ 80 & 64 \end{bmatrix}$

$A.C=\begin{bmatrix} 7\\ 9 \\8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7.(-2) & 7.(-5)\\ 9.(-2) & 9.(-5)\\ 8.(-2) & 8.(-5) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -14 & -35\\ -18&-45 \\ -16& -40 \end{bmatrix}$

$AB+AC=\begin{bmatrix} 70 & 63\\ 90&81 \\ 80&72 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -14 &-35 \\ -18 & -45\\ -16& -40 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 56 & 28\\ 72 &36 \\ 64 & 32 \end{bmatrix}$

Desta forma, concluímos que :

$A\left ( B+C \right )=AB+AC$

6. Matriz inversa

Uma matriz A é inversível se existir uma matriz $A^{-1}$ , tal que:

$A.A^{-1}=A^{-1}.A=I_{n}$

Exemplos:

1)UFRGS-RS A inversa da matriz abaixo é:

$\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

$a)\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -5 & 3 \end{bmatrix}$ $b)\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ $c)\begin{bmatrix} 2 & -5\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ $d)\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ $e)\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 5 & -2 \end{bmatrix}$

$A.A^{-1}=I_{2}$

$\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3a+c & 3b+d\\ 5a+2c & 5b+2d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

Resolvendo o sistema pelo método de substituição, teremos:

Da mesma forma, resolveremos o outro sistema:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -5& 3 \end{bmatrix}$

A alternativa correta é a a.

2) Vunesp - SP Seja $A=\left [a_{ij} \right ]$ a matriz real 2x2 definida por :

Calcule $A^{-1}$ .

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

$A.A^{-1}=I_{2}$

$\begin{bmatrix} 1 &1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & y\\ z & w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ⇒ $\begin{bmatrix} x+z &y+w \\ -x+z & -y+w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$