Função do primeiro grau

Uma função do primeiro grau ou função afim é da seguinte forma:

$f(x)=ax+b$

Exemplos:

$1)f(x)=10x-5$

$2)g(x)=-2x-8$

$3)h(x)=2x$

$4)f(x)=\frac{2}{5}x-9$

5) Se f (x ) = 5x -7, qual o valor de x para que f (x) = 43?

a) 10 b) -3 c) 8 d) 0 e) 1

$5x-7=43$

$5x=50$

$x=10$

Desta forma, a alternativa correta é a a.

6) Dada a função f(x) = -3x + 8, os valores de f (0), f(-1) e f(1) são, respectivamente:

a) 1, -2 e 4 b) 0,1 e 2 c) 8, 11 e 5 d) 5, 8 e 11 e) 11, 5 e 8.

$f(x)=-3x+8$

$f(0)=(-3).0+8=8$

$f(-1)=(-3).(-1))+8=11$

$f(1)=(-3).(1))+8=5$

Desta forma, a alternativa correta é a c.

7) (Fuvest - SP) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:

a) f(x) = x - 3 b) f(x ) = 0,97x c) f(x)=1,3x d) f(x) = -3x e) f(x)= 1,03x

$f(x)=x-\frac{3}{100}.x$

$f(x)=\frac{97}{100}x=0,97x$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

8) ( PUC - RS ) Seja a função definida por f(x)= 2x-3/5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:

a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3

$f(x)=\frac{2x-3}{5x}$

$\frac{-2}{5}=\frac{2x-3}{5x}$

$(-2).5x=5.(2x-3)$

$-10x=10x-15$

$x=\frac{15:5}{20:5}=\frac{3}{4}$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

Alguns casos particulares da função do primeiro grau

1. Função constante

A função constante sempre associa cada elemento x a um mesmo elemento:

$f(x)=c$

Vejamos a caracteristica do gráfico de uma função constante:

Como podemos perceber, o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y em c.

Exemplo: Construa o gráfico da função y = -3.

Escolheremos pontos aleatórios para x e, para qualquer um deles, a imagem será igual a -3.

2. Função identidade

A função identidade sempre associa cada elemento x ao próprio x:

$f(x)=x$

O gráfico de uma função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do primeiro e do terceiro quadrantes:

3. Função linear

A função linear possui a seguinte característica:

$f(x)=ax$ , $\left ( a\neq 0 \right )$

Exemplo:

$1)f(x)=3x$

Para desenharmos o gráfico da função linear em questão, escolheremos alguns valores aleatórios para x e encontraremos os seus respectivos valores de y. Assim, determinaremos pares ordenados que são pontos da reta que representará a função.

4. Função afim

Uma função afim sempre associa a cada elemento x o elemento ax+b:

$f(x)=ax+b$ , $\left ( a\neq 0 \right )$

Exemplos:

1) y = 4x + 5

2) y = x + 8

3) y = -3x

4) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e tem coeficiente angular igual a -3.

A equação procurada possui a seguinte característica:

$y=ax+b$

Pelos dados do enunciado, temos a = -3.

A partir do ponto (1,2), temos x = 1 e y = 2, e os substituiremos na equação:

$y=ax+b$

$2=(-3).1+b$

$b=5$

Então temos a equação da reta:

$y=ax+b$

$y=-3x+5$

5) Cefet - MG 2002 - Sabendo-se que f (x) = ax + b, que f ( -1 ) = 4 e que f ( 2 ) = 7, deduz-se que

f ( 8 ) vale:

a) 0 b) 3 c) 13 d) 23 e) 33

Temos os seguintes dados:

$f(-1)=4$ e $f(2)=7$ .

$f(x)=ax+b$

$4=a.(-1)+b$

$7=a.2+b$

Desta forma, teremos um sistema:

$f(x)=ax+b$

$f(x)=1.x+5\Rightarrow f(x)=x+5$

$f(8)=8+5=13$

Desta forma, a alternativa correta é a c.

6) Unifap - AP 2003 Um clube de mães decidiu confeccionar enfeites natalinos. O gasto com material foi de R$72,00 e pretendem vender cada enfeite por R$8,00.

a) Determine a lei que fornece o ganho ou a perda como função do número de enfeites vendidos.

b) Qual o menor número de enfeites que precisam ser vendidos para recuperar o valor gasto?

c) Faça um esboço do gráfico dessa função.

a) A lei de formação da função que fornece o ganho ou a perda de enfeites vendidos será dada por:

$f(x)=8x-72$ , onde x é a quantidade de enfeites vendidos.

$8x-72\geq 0$

$x\geq 9$

O menor número de enfeites que precisam ser vendidos para recuperar o valor gasto é 9.

c) Esboço do gráfico da função

Para x = 0, temos :

$f(0)=8.0-72=-72$

Temos o primeiro ponto da reta que representa a função: (0; -72)

Para y = 0, temos:

$0=8x-72\Rightarrow x=9$

Temos o segundo ponto da reta que representa a função: (9; 0)

Agora, esboçaremos o gráfico:

7) Fuvest - SP 2003 Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e

-x + 5. Assim, o valor máximo de f ( x ) é:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7

Procuraremos o valor máximo de f(x), encontrando o ponto onde estas retas se interceptam:

$x+3=-x+5$

$2x=2$

$x=1$

Para x = 1, temos:

$f(x)=x+3$ ou $f(x)=-x+5$

$f(1)=1+3=4$

Sendo assim, o valor máximo de f (x ) é 4.

Desta forma, a alternativa correta é a c.

8) Unicap - PE 2004 A função definida no conjunto dos reais, representada pelo gráfico na figura abaixo, é:

$a) y=x^{2}+5$ $b) y=x^{2}+x+1$ $c) y=3x$ $d) y=x+2$ $e) y=2x+2$

Pelo gráfico, temos que (0,2) e (-2,0) pertencem à função. Então, temos:

$f(x)=ax+b$

$2=a.0+b\Rightarrow b=2$

$0=a.(-2)+2\Rightarrow a=1$

Desta forma, temos: $f(x)=ax+b\Rightarrow f(x)=1.x+2=x+2$ .

Desta forma, a alternativa correta é a d.

9) FGV - SP Seja a função f de R em R, definida por f (x) = mx + t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições:

$a) m = 2t$ $b) t = 2m$ $c) m+t=0$ $d) m=t$ $e) m-t=4$

A partir do gráfico, temos que os pontos (-1;0) e (0;-2) pertencem à função:

$f(x)=mx+t$

$0=m.(-1)+t$

$-m+t=0$

$m=t$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

10) ( Vunesp - SP ) Uma pessoa obesa, pesando em certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:

a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que uma pessoa poderá atingir após n semanas.

$P=156-2,5n$

b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120kg de lá com menos de 120 kg de peso.

$P< 120$

$156-2,5n< 120$

$-2,5n<-36 . (-1)$

$n> \frac{36}{2,5}$

$n> 14,4$

Desta forma, a pessoa deverá permancer no spa por, pelo menos, 15 semanas.

11) ( Vunesp - SP ) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C.

Baseado nos dados do gráfico, determine:

a) A lei da função apresentada no gráfico;

Pelo gráfico, temos:

Para x = 0 e y = 0 , x = 40 e y = 50 :

$V(x)=ax+b$

$V(x)=ax+b\Rightarrow V(x)=\frac{5}{4}x+0=\frac{5}{4}x$

b) A massa ( em gramas ) de 30 cm3 de álcool.

$V(x)=\frac{5}{4}x$

$30=\frac{5}{4}x$

$\frac{120}{4}=\frac{5}{4}x$

$x=\frac{120}{5}=24g$

12) ( U.F. Viçosa - MG ) uma função é dada por f(x)= ax+b, em que a e b são números reais. Se f(-1)=3 e f(1)=-1, determine o valor de f(3).

Temos :

$f(x)=ax+b$

$f(x)=-2x+1$

$f(3)=\left (-2 \right ).3+1=-5$

13) (ENEM - 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical) e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x ( horizontal ).

A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é:

a) y = -10x + 500 b) y = -x/10+50 c) y =-x/10+500

d) y = x/10+50 e) y = x/10+500

Pelo gráfico, temos:

$f(0)=50$ e $f(500)=0$ .

Como o gráfico é uma reta, temos:

$f(x)=ax+b$

$f(x)=\frac{-x}{10}+50$

Desta forma, a alternativa correta é a b.

14) ( Unicamp - 2016 ) Considere a função afim f(x) = ax + b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3)+f(5)) é igual a :

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

$f(x)=ax+b$

$f(4)=2$

$2=a.4+b\Rightarrow 4a+b=2$

$f(x)=ax+b$

$f(3)=3a+b$

$f(5)=5a+b$

$f(3)+f\left ( 5 \right )=\left ( 3a+b \right )+\left ( 5a+b \right )=8a+2b=2(4a+b)$

$f\left ( f(3) +f(5)\right )=f(2(4a+b))=f(2.2)=f(4)=2$

Desta forma, a alternativa correta é a d.

15) ( UCSal) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por

f(x)=2x-3 e f(g(x)) = 4x +1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) -5 b) -4 c) 0 d) 4 e) 5

$f(x)=2x-3$

$f(g(x))=4x+1$

$2g(x)-3=4x+1$

$g(x)=\frac{4x+4}{2}=2x+2$

$g(-1)=2.(-1)+2=0$

Desta forma, a alternativa correta é a c.

4.1. Zeros ou raízes de uma função afim

Zero ou raiz de uma função afim é o número cuja imagem da função é nula:

Sendo assim, para determinarmos a raiz da função afim, basta igualarmos a equação a zero:

$ax+b=0$

$x=\frac{-b}{a}$

Exemplos:

1) Qual é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos (1,2) e (3,4)?

Como o enunciado nos diz, trata-se de uma função afim:

$f(x)=ax+b$

A partir dos pontos (1,2) e (3,4), temos:

$f(x)=ax+b$

$f(x)=1.x+1$

$f(x)=x+1$

Agora podemos encontrar o zero da função:

$f(x)=x+1$

$x+1=0$

$x=-1$

2) Uma função é dada por f ( x ) = x/2 - 8. A raiz dessa função é:

a) 0 b) 4 c) 16 d) -3 e) 4

$f(x)=\frac{x}{2}-8$

$\frac{x}{2}-8=0$

$\frac{x-16}{2}=\frac{0}{2}$

$x=16$

4.2. Crescimento e decrescimento da função afim

A função afim é crescente quando o seu coeficiente angular a é positivo ( a > 0 ).

Exemplos:

a) f (x) = 3x - 7 ( a = 3 > 0 )

b) y = x + 9 ( a = 1 > 0 )

A função afim é decrescente quando o seu coeficiente angular a é positivo ( a < 0 ).

Exemplos:

a) f (x ) = 6 - 2x ( a = -2 < 0 )

b) y = -9x ( a = -9 < 0 )

Exemplos:

1) Dadas as funções f ( x ) = -2x + 1 e g ( x ) = x/2, responda:

a) Em que pontos a reta que representa cada uma delas corta os eixos x e y?

b) A função f é crescente ou decrescente? E a função g?

c) Construa os gráficos das funções e confira neles as respostas anteriores.

a) Primeiramente vamos encontrar os pontos em que a reta de f corta os eixos x e y:

Corte no eixo x: para cortar o eixo x, y deve ser igual a zero.

$f(x)=-2x+1$

$-2x+1=0$

$x=\frac{1}{2}$

A função f corta o eixo x no ponto (1/2;0).

Corte no eixo y: para cortar o eixo y, x deve ser igual a zero.

$f(x)=-2x+1$

$f(0)=-2.0+1=1$

A função f corta o eixo y no ponto (0;1).

Agora vamos encontrar os pontos em que a reta de g corta os eixos x e y:

Corte no eixo x: para cortar o eixo x, y deve ser igual a zero.

$g(x)=\frac{x}{2}$

$\frac{x}{2}=0$

$x=0$

A função g corta o eixo x no ponto (0;0).

Corte no eixo y: para cortar o eixo y, x deve ser igual a zero.

$g(x)=\frac{x}{2}$

$g(0)=\frac{0}{2}=0$

A função g corta o eixo y no ponto (0;0).

b) A função f é decrescente, pois temos :

$f(x)=-2x+1(a=-2<0)$

A função g é crescente, pois temos:

$g(x)=\frac{x}{2}(a=\frac{1}{2}>0)$

c) Agora vamos esboçar os gráficos das funções:

$(I)f(x)=-2x+1$

$(II)g(x)=\frac{x}{2}$

4.3.Gráfico de uma função afim

O gráfico de uma função afim é uma reta.

O gráfico de uma função afim é uma reta crescente ( a > 0 ) ou uma reta decrescente ( a < 0 ).

Para desenharmos o gráfico de uma função, podemos seguir alguns passos:

1) verificar se a função é uma reta crescente ( a > 0 ) ou decrescente ( a < 0 );

2) encontrar as raízes da função :

$ax+b=0\Rightarrow x=\frac{-b}{a}$

3) encontrar a interseção do gráfico da função com o eixo y, ou seja, o valor da função quando x = 0 ;

Exemplos:

1) Construa os gráficos das funções abaixo:

$a) y = x+2$

Primeiramente, vamos verificar se a função é crescente ou decrescente:

$a=1(a>0)$ - função crescente

Agora, vamos calcular as raízes da função:

$y=x+2$

$x+2=0$

$x=-2$

No ponto (-2,0) a reta intercepta o eixo x.

Agora, calcularemos o ponto no qual a reta intercepta o eixo y ( x = 0 ):

$y=x+2$

$y=0+2=2$

No ponto (0,2)a reta intercepta o eixo y.

$b)f(x)=-3x-4$

Primeiramente, vamos verificar se a função é crescente ou decrescente:

$a=-3(a<0)$ - função decrescente

Agora, vamos calcular as raízes da função:

$f(x)=-3x-4$

$-3x-4=0$

$x=\frac{-4}{3}$

No ponto (-4/3,0) a reta intercepta o eixo x.

Agora, calcularemos o ponto no qual a reta intercepta o eixo y ( x = 0 ):

$f(x)=-3x-4$

$f(0)=(-3).0-4=-4$

No ponto(0,-4) a reta intercepta o eixo y.

4.3. Estudo do sinal de uma função do primeiro grau

O estudo do sinal de uma função é feito para verificarmos onde a função é positiva

( f(x) > 0), negativa ( f(x) < 0 ) ou nula ( f (x) = 0 ).

Para tal, temos que, primeiramente, encontrar a raiz da função. Depois devemos verificar o crescimento da função.

Consideraremos dois casos:

Função crescente ( a > 0):

Função decrescente ( a < 0):

E, assim, fazermos o estudo do sinal da função.

Exemplos:

1) Faça o estudo do sinal das funções abaixo:

$a) y = 4x+16$

Primeiramente, encontraremos a raiz da função:

$4x+16=0$

$x=-4$

Agora, verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

$y=4x+16$

$a=4\Rightarrow a>0$ - Função crescente

Assim, temos:

Estudo do sinal da função:

f (x ) = 0 para x =- 4

f(x) > 0 para $\left \{ x\epsilon R/x>-4 \right \}$

f(x)<0 para $\left \{ x\epsilon R/x<-4 \right \}$

$b) f(x) = 5-x$

Primeiramente, encontraremos a raiz da função:

$5-x=0$

$x=5$

Agora, verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

$f(x)=5-x$

$a=-1\Rightarrow a<0$ - Função decrescente

Assim, temos:

Estudo do sinal da função:

f (x ) = 0 para x = 5

f(x) > 0 para $\left \{ x\epsilon R/x<5 \right \}$

f(x)<0 para $\left \{ x\epsilon R/x>5 \right \}$

2) Para quais valores reais de x, a função f (x) = 2 -x/2 é negativa?

Primeiramente, vamos encontrar a raiz da função:

$f(x)=2-\frac{x}{2}$

$f(x)=0$

$2-\frac{x}{2}=0$

$\frac{4-x}{2}=\frac{0}{2}$

$x=4$

Agora verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

$f(x)=2-\frac{x}{2}$

$a=\frac{-1}{2}\Rightarrow a<0$ - Função decrescente

Agora faremos o estudo do sinal da função:

Observemos que:

$f(x)< 0$ para $\left \{ x\epsilon R/x>4 \right \}$ .

Ou seja, a função é negativa para $\left \{ x\epsilon R/x>4 \right \}$ .

3) Para quais valores de x, a função y = 2- 3x/4 é positiva?

Primeiramente, vamos encontrar a raiz da função:

$y=2-\frac{3x}{4}$

$2-\frac{3x}{4}=0$

$\frac{8-3x}{4}=\frac{0}{4}$

$x=\frac{8}{3}$

Agora verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

$y=2-\frac{3x}{4}$

$a=\frac{-3}{4}\Rightarrow a<0$ - Função decrescente

Agora faremos o estudo de sinal da função:

Observemos que:

$f(x)> 0$ para $\left \{ x\epsilon R/x< \frac{8}{3} \right \}$ .

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